망델브로 집합

브누아 망델브로(Benoît B. Mandelbrot)가 고안한 프랙탈의 일종으로, 다음과 같은 점화식으로 표현되는 수열 $\{z_n\}$의 절대값이 무한대로 발산하지 않는[2] 복소수 c의 집합으로 정의된다.

예를 들어 $c=1$이라면 수열 $\{z_n\}$은 $0, 1, 2, 5, 26,\;...$이고 $\displaystyle \lim_{n\to \infty} \left| z_n \right| = \infty$이므로 1은 망델브로 집합에 포함되지 않는다. 한편 $c=-1$이라면 $\{z_n\}$은 $0, -1, 0, -1, 0,\;...$이고 음이 아닌 모든 정수 $n$에 대해 $\left| z_n \right| \leq 1$이므로 -1은 망델브로 집합에 포함된다.

이런 c의 집합을 복소평면에 나타내면 위와 같은 도형이 나타난다.

실제로 망델브로 집합을 그릴 때는 실제로 무한한 항까지 계산하여 발산 여부를 확인하는 것이 어려우므로 '어떤 $n$에 대해 $\left| z_n \right|>2$일 경우 $\{z_n\}$은 발산한다'는 성질을 이용한다. 즉, 수열을 계산하다가 절댓값이 2를 넘는 점을 배제하고 그리면 된다. 이러한 성질을 이용하더라도 집합에 포함되는 점은 무한히 계산해도 발산하지 않기 때문에, 보통 특정한 $n$의 값을 정하고 그 값까지만 계산한다. 물론 $n$이 클수록 완성된 그림의 정확도도 높아진다.

수학적으로는 어떤 점이 망델브로 집합에 포함되거나 포함되지 않거나의 두 가지 경우밖에 없으므로 흑백으로만 그려도 상관은 없지만, 대부분의 경우 처음으로 $\left| z_n \right|$이 $2$를 넘는 $n$의 값에 따라 배경에 색을 칠한다.